算法 -- 树和二叉树简介
一、树
1、什么是树？
树状图是一种数据结构，它是由 n（n>=1）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：
每个节点有零个或多个子节点；没有父节点的节点称为根节点；每一个非根节点有且只有一个父节点；除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树；
树（tree）是包含 n（n>0）个结点的有穷集，其中：
（1）每个元素称为结点（node）；
（2）有一个特定的结点被称为根结点或树根（root）。
（3）除根结点之外的其余数据元素被分为 m（m≥0）个互不相交的集合 T1，T2，……Tm-1，其中每一个集合 Ti（1<=i<=m）本身也是一棵树，被称作原树的子树（subtree）。
2、相关术语
- 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；
- 叶节点或终端节点：度为 0 的节点称为叶节点；
- 非终端节点或分支节点：度不为 0 的节点；
- 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；
- 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；
- 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；
- 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；
- 节点的层次：从根开始定义起，根为第 1 层，根的子节点为第 2 层，以此类推；
- 树的高度或深度：树中节点的最大层次；
- 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；
- 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；
- 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。
- 森林：由 m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林；
二、二叉树
1、什么是二叉树？
二叉树，就是度不差过 2 的树（节点最多有两个叉）
三、两种特殊的二叉树
1、满二叉树
一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。
2、完全二叉树
叶节点只能出现在最下层和次下层，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树
满二叉树一定是完全二叉树，但是完全二叉树不一定是满二叉树
三、二叉树的存储方式
1、链式存储方式
a、二叉树的链式存储：将二叉树的节点定义为一个对象，节点之间通过类似链表的链接方式来连接。
b、节点定义
class BiTreeNode:
def __init__(self,data): #data就是传进去的节点的值
self.data = data
self.lchild = None
self.rchild = None
c、二叉树的遍历：
I 、先（前）序遍历：访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前
具体操作：若二叉树非空，则依次执行如下操作：
- ⑴ 访问根结点；
- ⑵ 遍历左子树；
- ⑶ 遍历右子树。
II、中序遍历：访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。
具体操作： 若二叉树非空，则依次执行如下操作：
- ⑴遍历左子树；
- ⑵访问根结点；
- ⑶遍历右子树。
III、后序遍历：访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。
若二叉树非空，则依次执行如下操作：
- ⑴遍历左子树；
- ⑵遍历右子树；
- ⑶访问根结点。
IV、层次遍历
用一个队列保存被访问的当前节点的左右孩子以实现层序遍历。
二叉树的遍历代码如下
from collections import deque #双向队列
from queue import Queue #单向队列
# import queue
# q = queue.Queue()
# q.put('ggg')
# q.get()
class BiTreeNode:
def __init__(self,data):
self.data = data
self.lchild = None
self.rchild = None
@classmethod
def pre_order(self,root):
'''前序遍历(根左右)'''
if root: #如果有根节点
print(root.data,end='')
self.pre_order(root.lchild)
self.pre_order(root.rchild)
@classmethod
def in_order(self,root):
'''中序遍历(左根右)'''
if root:
self.in_order(root.lchild)
print(root.data,end='')
self.in_order(root.rchild)
@classmethod
def out_order(self, root):
'''后序遍历(左右根)'''
if root:
self.out_order(root.lchild)
self.out_order(root.rchild)
print(root.data, end='')
@classmethod
def level_order(self,root):
'''层次遍历(第一层，第二层，第三层...借助队列来实现)'''
queue = deque()
queue.append(root)
while len(queue) > 0:
node = queue.popleft()
print(node.data,end='')
if node.lchild:
queue.append(node.lchild)
if node.rchild:
queue.append(node.rchild)
#创建二叉树
a = BiTreeNode("A")
b = BiTreeNode("B")
c = BiTreeNode("C")
d = BiTreeNode("D")
e = BiTreeNode("E")
f = BiTreeNode("F")
g = BiTreeNode("G")
e.lchild = a
e.rchild = g
a.rchild = c
c.lchild = b
c.rchild = d
g.rchild = f
root = e
#查看前序遍历的结果
BiTreeNode.pre_order(root) #EACBDGF
print('')
BiTreeNode.in_order(root) #ABCDEGF
print('')
BiTreeNode.out_order(root) #BDCAFGE
print('')
BiTreeNode.level_order(root) #EAGCFBD
2、顺序存储方式
如上图二叉树标出了元素所对应的索引，那么可以有一下结论
1、父节点和左孩子节点的编号下标有什么关系？
如果已知父亲节点为 i，那么他的左孩子节点为 2i+1
2、父节点和右孩子节点的编号下标有什么关系?
3、反过来知道孩子找父亲
(n-1)/2=i # 左孩子求父节点
(n-2)/2=i # 右孩子求父节点
四、二叉搜索树
1、定义
二叉搜索树是一棵二叉树且满足性质：设 X 是二叉树的一个节点。如果 Y 是 X 左子树的一个节点，那么 Y.key <=X.key;
如果 Y 是 X 右子树的一个节点，那么 Y.key>= X.key (X.key 代表 X 节点对应的值)
通俗的说也就是 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值； 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值； 它的左、右子树也分别为二叉搜索树。
2、原理
二叉排序树的查找过程和次优二叉树类似，通常采取二叉链表作为二叉排序树的存储结构。中序遍历二叉排序树可得到一个关键字的有序序列，一个无序序列可以通过构造一棵二叉排序树变成一个有序序列，构造树的过程即为对无序序列进行排序的过程。每次插入的新的结点都是二叉排序树上新的叶子结点，在进行插入操作时，不必移动其它结点，只需改动某个结点的指针，由空变为非空即可。搜索, 插入, 删除的复杂度等于树高，O(log(n)).
3、二叉搜索树的创建
可参考链接：https://visualgo.net/en/bst
4、二叉搜索树的遍历
5、二叉搜索树的查询、插入、删除
插入：
删除
比如要删除 65
比如要删除 66
代码实现：
待续….
6、二叉搜索树存在的问题
存在的问题：当插入的是有序的时候，假如插入的数据特别多，找是能找到，但是是很花费时间的。
可以有以下解决办法：
1、随机化的二叉搜索树（打乱顺序插入）
2、AVL 树
查找方法有：二分查找、二叉搜索树、哈希查找、顺序查找、斐波那契查找
五、AVL 树—–扩展（了解）
1、AVL 树：AVL 树是一棵自平衡的二叉搜索树
2、AVL 树具有以下性质：
- 根的左右子树的高度只差的绝对值不能超过 1
- 根的左右子树都是平衡二叉树
3、AVL 的实现方式：旋转
六、B 树
1、B 树：B 树是一棵自平衡的多路搜索树。常用于数据库的索引
七、其他
